Considere os pontos A=(0,0) e B=(900,500) no plano cartesiano. Determine o número total de pontos com coordenadas inteiras que pertencem ao segmento de reta que conecta os pontos A

Gabarito

B

Comentário do professor

A reta que passa por A=(0,0) e B=(900,500) tem equação \(y=ax\) porque passa pela origem. Substituindo \(x=900\) e \(y=500\) obtém-se \(500=900a\), então \(a=\tfrac{5}{9}\) e a reta é \(y=\tfrac{5}{9}x\).

Para que as coordenadas sejam inteiras, precisamos de \(y=\tfrac{5}{9}x\) inteiro. Como \(\gcd(5,9)=1\), isso ocorre exatamente quando \(x\) é múltiplo de 9. Assim \(x\) varia de 0 a 900 em saltos de 9.

O número de múltiplos de 9 entre 0 e 900 inclusive é \(\tfrac{900}{9}+1=100+1=101\). Portanto existem 101 pontos com coordenadas inteiras no segmento.

Como atalho, pelo fato geral, o total de pontos inteiros em um segmento com diferença \(dx\) e \(dy\) é \(\gcd(|dx|,|dy|)+1\). Aqui \(\gcd(900,500)=100\), logo \(100+1=101\).