Sejam \(\vec{v}\) = (3,0,4) e \(\vec{w}\) =(2,7,1) dois vetores em \(\mathbb{R}^3\) e denote por \(θ\) o ângulo entre \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\) que varia de 0º a 180º. Qual é o val

Gabarito

A

Comentário do professor

Para encontrar o valor correto usamos a relação do cosseno entre vetores: \( \cos\theta = \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} \).

Calcule o produto escalar: \( \vec{v}\cdot\vec{w} = 3\cdot2 + 0\cdot7 + 4\cdot1 = 6 + 0 + 4 = 10 \).

Calcule as normas: \( |\vec{v}| = \sqrt{3^2+0^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 \) e \( |\vec{w}| = \sqrt{2^2+7^2+1^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt6 \).

Substituindo, \( \cos\theta = \dfrac{10}{5\cdot 3\sqrt6} = \dfrac{10}{15\sqrt6} = \dfrac{2}{3\sqrt6} \).

Racionalizando o denominador: \( \dfrac{2}{3\sqrt6}\cdot\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6} = \dfrac{2\sqrt6}{18} = \dfrac{\sqrt6}{9} \).

Portanto o valor de \( \cos\theta \) é \( \dfrac{\sqrt6}{9} \), conforme a alternativa correta.