Questão FC451051
Sejam \(a,b\) dois números reais estritamente positivos. Quais são os dois pontos em que a reta \(y=3x\) intersecta a elipse \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1?\)
Geometria Analítica
Instituto Verbena · 2024
Sejam \(a,b\) dois números reais estritamente positivos. Quais são os dois pontos em que a reta \(y=3x\) intersecta a elipse \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1?\)
- \((\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\,e\,(\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\)
- \((\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\,e\,(\dfrac{-3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\)
- \((\dfrac{-3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\,e\,(\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\)
- \((\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\,e\,(\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\)
- \((\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\,e\,(\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}})\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Substitua \(y=3x\) na equação da elipse \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\).
Fica \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{9x^2}{b^2}=1\), ou seja \(x^2\!\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}\right)=1\).
Reescrevendo o parêntese: \( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}=\dfrac{b^2+9a^2}{a^2b^2}\). Assim \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2+9a^2}\).
Como \(a,b>0\), \(x=\pm\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}}\).
Usando \(y=3x\) obtemos \(y=\pm\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}}\).
Portanto os pontos de interseção são \( \left(\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}}\right)\) e \( \left(\dfrac{-ab}{\sqrt{b^2+9a^2}},\dfrac{-3ab}{\sqrt{b^2+9a^2}}\right)\).
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