Um número complexo \(z=a+b \, i\), com \(i^2=-1\), a , b números reais, pode ser representado no plano cartesiano pela flecha de pé na origem e extremidade no ponto \(P=(a,b)\). Da

Gabarito

B

Comentário do professor

O número dado é \(z=\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\), isto é, \(z=\) cis\(\frac{\pi}{3}\). Assim, para todo inteiro \(k\), temos \(z^k=\) cis\(\frac{k\pi}{3}\), com módulo 1 e argumento \(\frac{k\pi}{3}\).

Um ponto tem ambas as coordenadas positivas exatamente quando o argumento está em \((0,\frac{\pi}{2})\) (não inclui os eixos). Procuramos, para \(k=0,\dots,7\), valores com \(\frac{k\pi}{3}\equiv\) um ângulo em \((0,\frac{\pi}{2})\) módulo \(2\pi\). Isso ocorre quando o ângulo é \(\frac{\pi}{3}\).\br Nos índices dados, \(\frac{\pi}{3}\) aparece para \(k=1\) e, por equivalência angular, para \(k=7\) (já que \(\frac{7\pi}{3}=2\pi+\frac{\pi}{3}\)).

Portanto, há 2 potências com extremidade no primeiro quadrante.