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Questão FC451053

Seja ABC um triângulo equilátero cujos vértices são os pontos \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\) e \(C=(1/2, \sqrt3 /2\)). Considere as retas a, b e c, que passam pelos vértices A, B e C que

Geometria Analítica

Instituto Verbena · 2023

Seja ABC um triângulo equilátero cujos vértices são os pontos \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\) e \(C=(1/2, \sqrt3 /2\)). Considere as retas a, b e c, que passam pelos vértices A, B e C que são perpendiculares aos lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. O ponto de intersecção entre as retas a, b e c é chamado de ortocentro do triângulo ABC e se encontra no ponto

  1. \((\sqrt3/6, 1/2)\).
  2. \((1/2, \sqrt3/6)\).
  3. \((1/4,1/2)\).
  4. \((1/2,1/4)\).
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Gabarito

B

Comentário do professor

Em um triângulo equilátero o ortocentro coincide com o baricentro (centroide), portanto basta calcular a média das coordenadas dos vértices.

As coordenadas do centroide \(G\) são dadas por \(x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\) e \(y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\).

Substituindo \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\) e \(C=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt3}{2})\) obtemos:

\(x_G=\dfrac{0+1+\tfrac{1}{2}}{3}=\tfrac{1}{2}\)
\(y_G=\dfrac{0+0+\tfrac{\sqrt3}{2}}{3}=\dfrac{\sqrt3}{6}\).

Logo, o ortocentro de \(ABC\) é o ponto \(\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt3}{6}\right)\).

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