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Questão FC451056

Em um sistema de coordenadas cartesianas XOY, sabe-se que a reta s é perpendicular à reta t. A reta t corta o eixo das abcissas em x = 4, e o das ordenadas em y = -4. Nessas condiç

Geometria Analítica

Instituto Verbena · 2023

Em um sistema de coordenadas cartesianas XOY, sabe-se que a reta s é perpendicular à reta t. A reta t corta o eixo das abcissas em x = 4, e o das ordenadas em y = -4. Nessas condições, o cosseno do menor ângulo \(\beta\) formado por s e o eixo das ordenadas é

  1. \(cos(\beta)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
  2. \(cos(\beta)=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
  3. \(cos(\beta)=\frac{1}{3\sqrt{2}}\).
  4. \(cos(\beta)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
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Gabarito

B

Comentário do professor

A partir dos pontos de corte de t com os eixos, a inclinação de t é \(m_t=\frac{0-(-4)}{4-0}=1\), logo sua direção forma \(45^\circ\) (\(\pi/4\)) com o eixo \(x\).

Como s é perpendicular a t, sua inclinação é \(m_s=-\frac{1}{m_t}=-1\). Assim a diretriz de s tem ângulo \(\varphi_s=\arctan(-1)=-\pi/4\) (equivalente a \(3\pi/4\)).

O menor ângulo \(\beta\) entre s e o eixo das ordenadas (ângulo entre \(\varphi_s\) e \(\pi/2\)) é \(\pi/4\). Portanto \(\cos(\beta)=\cos(\pi/4)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), como indicado.

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