Questão FC451058
Um estudante usou um plano cartesiano no intuito de encontrar dois números de acordo com a seguinte condição: sua soma fosse igual a 7 e a soma dos seus quadrados fosse igual a 25.
Geometria Analítica
Instituto Verbena · 2022
Um estudante usou um plano cartesiano no intuito de encontrar dois números de acordo com a seguinte condição: sua soma fosse igual a 7 e a soma dos seus quadrados fosse igual a 25. Como usava um plano cartesiano, ele percebeu que a solução seria encontrada por meio da intersecção entre duas figuras no plano e, ainda, notou que certos pares ordenados atendiam a essa condição. Assim, o nome das duas figuras e a quantidade de pontos no plano que atendem à condição descrita são, respectivamente:
- reta e parábola; 1 ponto.
- reta e circunferência; 2 pontos.
- semirreta e elipse, 1 ponto.
- segmento de reta e elipse; 2 pontos
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Gabarito
B
Comentário do professor
Sejam os números \(x\) e \(y\). A condição da soma dá \(x+y=7\), portanto \(y=-x+7\), que é a equação de uma reta.
A condição da soma dos quadrados é \(x^2+y^2=25\), que representa uma circunferência de centro em \((0,0)\) e raio 5.
Substituindo \(y\) na circunferência: \(x^2+(-x+7)^2=25\). Isso leva a \(2x^2-14x+24=0\), ou \(x^2-7x+12=0\).
Resolvendo a quadrática: \(\Delta=1\) e \(x=(7\pm1)/2\), portanto \(x=3\) ou \(x=4\). Assim \(y=4\) ou \(y=3\).
As soluções são os pontos \((3,4)\) e \((4,3)\). Logo, a intersecção entre a reta e a circunferência tem exatamente 2 pontos.
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