Questão FC451059
Qual é a relação métrica entre o raio r, a altura h do cilindro e o raio da esfera?
Geometria Analítica
Instituto Verbena · 2022
Considere que o cilindro circular reto, de equação cartesiana x2 + y2 = r2, de altura h, está inscrito em uma esfera equação x2 + y2 + z2 = 16, conforme ilustrado na figura.
Qual é a relação métrica entre o raio r, a altura h do cilindro e o raio da esfera?
- h 2 + 2r2 = 8
- 4h2 + r2 = 16
- h2 + r2 = 32
- h2 + 4r2 = 64
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Gabarito
D
Comentário do professor
A esfera tem equação \(x^2+y^2+z^2=16\), logo o raio da esfera é \(R=4\).
O cilindro circular reto está inscrito na esfera com eixo coincidente ao eixo \(z\). Tomando o centro da esfera como origem, o segmento que vai do centro da base do cilindro até um ponto da borda lateral e ao polo da esfera forma um triângulo retângulo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo cujos catetos são \(r\) e \(\dfrac{h}{2}\) e hipotenusa \(R\), obtemos \(R^2=r^2+\left(\dfrac{h}{2}\right)^2\).
Substituindo \(R=4\): \(16=r^2+\dfrac{h^2}{4}\). Multiplicando por 4 resulta \(64=4r^2+h^2\), ou seja \(h^2+4r^2=64\), conforme a alternativa correta.
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