A Integral definida \(\int_{a}^{b} \, \sqrt {1 \, + \, f' \, (x)^2} \, dx\) mede o comprimento L do gráfico da função y = f(x), no intervalo [a, b]. Dado um fio sobreposto ao gráfi

Gabarito

A

Comentário do professor

A função dada é \(f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\), isto é cosh: \(f(x)=\cosh x\). Sua derivada é \(f'(x)=\sinh x\).

Pelo identity \( \cosh^2 x-\sinh^2 x=1\) segue \( \sqrt{1+\sinh^2 x}=\cosh x\) (escolhendo o sinal positivo, pois \(\cosh x>0\)). Assim a integral vira \(\int_{-\ln 10}^{\ln 10}\cosh x\,dx\).

Uma primitiva de \(\cosh x\) é \(\sinh x\), então

\(\displaystyle \int_{-\ln 10}^{\ln 10}\cosh x\,dx=\sinh(\ln 10)-\sinh(-\ln 10)=2\sinh(\ln 10).\)

Como \(\sinh(\ln 10)=\dfrac{e^{\ln 10}-e^{-\ln 10}}{2}=\dfrac{10-\tfrac{1}{10}}{2}=\dfrac{99}{20}\), o comprimento é \(2\cdot\dfrac{99}{20}=\dfrac{99}{10}\).