Se \(f(x) = \dfrac{e^x((cos(x))^3+2)}{x^2+1}\), então \(f\)´ (\(π\)/2) pode ser escrita na seguinte forma: \(f´(\dfrac{π}{2})\) = \(\dfrac{e^{π/2}(α+βπ+\gammaπ^2)}{(π^2/4+1)^2}\) Q

Gabarito

A

Comentário do professor

Derivada: escreva \(f(x)=e^x\cdot g(x)\) com \(g(x)=\dfrac{\cos^3x+2}{x^2+1}\). Pela regra do produto, \(f'(x)=e^x g(x)+e^x g'(x)\).

Quociente: com \(u=\cos^3x+2\) e \(v=x^2+1\), temos \(u'=-3\cos^2x\sin x\) e \(v'=2x\). Então

\(g'(x)=\dfrac{(-3\cos^2x\sin x)(x^2+1)-(\cos^3x+2)(2x)}{(x^2+1)^2}\).

Avaliação em \(x=\pi/2\): \(\cos(\pi/2)=0,\ \sin(\pi/2)=1\). Assim \(g(\pi/2)=\dfrac{2}{\pi^2/4+1}\) e \(g'(\pi/2)=\dfrac{-4(\pi/2)}{(\pi^2/4+1)^2}=-\dfrac{2\pi}{(\pi^2/4+1)^2}\).

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\(f'(\pi/2)=e^{\pi/2}\!\left(\dfrac{2}{\pi^2/4+1}-\dfrac{2\pi}{(\pi^2/4+1)^2}\right)=\dfrac{e^{\pi/2}(2-2\pi+\pi^2/2)}{(\pi^2/4+1)^2}.\)

Comparando com a forma dada, obtemos \(\alpha=2,\ \beta=-2,\ \gamma=\tfrac{1}{2}.\)