Se \(F(x)=\int^{x^4}_{-x^2} e^{t^2} \cos(t) dt\), então o valor de \(F\)′(1) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Aplicamos a Regra de Leibniz para \(F(x)=\int_{-x^2}^{x^4} e^{t^2}\cos t\,dt\). Tome \(a(x)=-x^2\), \(b(x)=x^4\) e \(f(t)=e^{t^2}\cos t\).

A regra dá \(F'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x)\). Aqui \(b'(x)=4x^3\) e \(a'(x)=-2x\).

Logo \(F'(x)=e^{(x^4)^2}\cos(x^4)\cdot 4x^3 - e^{(-x^2)^2}\cos(-x^2)\cdot(-2x)\). Simplificando:
\(F'(x)=4x^3 e^{x^8}\cos(x^4)+2x e^{x^4}\cos(-x^2)\).

Avaliando em \(x=1\): \(F'(1)=4e\cos(1)+2e\cos(-1)\). Como \(\cos(-1)=\cos(1)\), obtemos \
\(F'(1)=6e\cos(1)\).