O limite da função \(f\), dada por \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+6y^2}\) se (\(x,y\)) \(≠\) (0,0) e \(f\)(0,0)=0, quando (\(x,y\)) tende a (0,0) é dado por

Gabarito

A

Comentário do professor

Considere o limite \( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y}{x^2+6y^2} \).

Use coordenadas polares: \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\). Substituindo,

\( \dfrac{x^2y}{x^2+6y^2}=\dfrac{(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)}{(r\cos\theta)^2+6(r\sin\theta)^2} = r\cdot\dfrac{\cos^2\theta\sin\theta}{\cos^2\theta+6\sin^2\theta}.\)

O fator \(r\) tende a 0 quando \((x,y)\to(0,0)\). A fração multiplicativa depende só de \(\theta\) e é limitada, pois o denominador é positivo para todo \(\theta\).

Logo o produto é \(r\) vezes uma função limitada, portanto tende a 0 quando \(r\to0\). Assim o limite vale 0.