O intervalo formado por todos os valores reais de \(s\) para os quais a integral imprópria \(\int^∞_0te^{-3st}dt\) converge é dado por

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Convergência: considere \(I(s)=\int_0^{\infty} t\,e^{-3st}\,dt\). A análise exige o comportamento em \(t\to\infty\) e em \(t\to0\).

Para \(t\to\infty\) o fator \(e^{-3st}\) determina se a integral converge. Se \(s>0\) então \(e^{-3st}\) decai exponencialmente e o produto com \(t\) é integrável no infinito. Se \(s=0\) fica \(\int_0^{\infty} t\,dt\), que diverge. Se \(s<0\) o expoente cresce e a integral também diverge por crescimento exponencial.

Em \(t\to0\) temos \(t\,e^{-3st}\sim t\), e \(\int_0^{\varepsilon} t\,dt\) é finita, portanto não há problema na origem.

Logo, a condição necessária e suficiente é \(s>0\), isto é, o intervalo de convergência é \((0,+\infty)\).
Para \(s>0\) a integral vale \(I(s)=\frac{1}{9s^{2}}\).