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Questão FC451072

Considere a transformação linear T(p(t)) = p’’(t) – p’(t), dada pela derivada de segunda ordem menos a de primeira ordem de p(t) em relação à variável t, no espaço vetorial P3(R) d

Matemática Avançada (Ensino Superior)

Instituto Verbena · 2024

Considere a transformação linear T(p(t)) = p’’(t) – p’(t), dada pela derivada de segunda ordem menos a de primeira ordem de p(t) em relação à variável t, no espaço vetorial P3(R) do polinômios p(t) de grau no máximo 3, de coeficientes reais. Temos que o Núcleo é um subespaço vetorial, denotado por KerT, então o núcleo pode ser gerado por

  1. p(t) = 0.
  2. p(t) = 1.
  3. p(t) = t.
  4. p(t) = t2.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Considere \(p(t)=at^3+bt^2+ct+d\) em P3(\mathbb{R}).

As derivadas são \(p'(t)=3at^2+2bt+c\) e \(p''(t)=6at+2b\).

Logo \(T(p)=p''-p'=-3at^2+(6a-2b)t+(2b-c)\).

Para \(p\) pertencer ao núcleo \( \operatorname{Ker}T\) é preciso \(T(p)\equiv0\), portanto os coeficientes devem anular-se, dando o sistema\n\( -3a=0,\;6a-2b=0,\;2b-c=0\).

Dessa forma \(a=b=c=0\), ficando \(p(t)=d\), uma constante arbitrária.

Portanto \( \operatorname{Ker}T\) é o subespaço dos polinômios constantes, de dimensão 1, gerado por p(t)=1.

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