Questão FC451073
Seja \(y'(x)+\dfrac{n}{x}y(x)=Q(x)\) uma equação diferencial de primeira ordem, em que \(n\) é um número natural e \(Q\) é uma função polinomial. Qual é a única solução desta equaç
Matemática Avançada (Ensino Superior)
Instituto Verbena · 2024
Seja \(y'(x)+\dfrac{n}{x}y(x)=Q(x)\) uma equação diferencial de primeira ordem, em que \(n\) é um número natural e \(Q\) é uma função polinomial. Qual é a única solução desta equação diferencial que satisfaz a condição \(y\)(1)=2?
- \(y(x)=\int^x_1Q(t)dt+2.\)
- \(y(x)=\dfrac{1}{x^n}\int^x_1t^nQ(t)dt+\dfrac{1}{x^n}\)
- \(y(x)=\int^x_1t^nQ(t)dt+2.\)
- \(y(x)=\dfrac{1}{x^n}\int^x_1t^nQ(t)dt+\dfrac{2}{x^n}\)
- \(y(x)=\int^x_1Q(t)dt+\dfrac{2}{x^n}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
A equação \(y'(x)+\dfrac{n}{x}y(x)=Q(x)\) é linear de primeira ordem com \(P(x)=\dfrac{n}{x}\). Aplicamos o fator integrante \(\mu(x)=e^{\int P(x)dx}=e^{n\ln x}=x^n\).
Multiplicando ambos os lados por \(\mu(x)\) obtém-se \(x^n y'(x)+n x^{n-1}y(x)=x^nQ(x)\), cujo lado esquerdo é a derivada do produto \(\dfrac{d}{dx}(x^n y(x))\).
Integrando de 1 a \(x\): \(\displaystyle x^n y(x)-1^n y(1)=\int_1^x t^n Q(t)\,dt\). Pela condição inicial \(y(1)=2\) vem \(x^n y(x)=\int_1^x t^n Q(t)\,dt+2\).
Isolando \(y(x)\) chega-se à solução única procurada: \(y(x)=\dfrac{1}{x^n}\int_1^x t^n Q(t)\,dt+\dfrac{2}{x^n}\).
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