A equação diferencial (\(4x^3y+y^3+e^x)dx+(ax^4+3y^2x+βx^3y+e^{y^{2}})dy=0\)), na qual \(α ,β\) são números reais, é uma equação diferencial exata se, e somente se, os valores de \

Gabarito

B

Comentário do professor

Escreva a equação na forma \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\), onde \(M=4x^3y+y^3+e^x\) e \(N=\alpha x^4+3y^2x+\beta x^3y+e^{y^2}\).

A condição de exatidão é \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\).

Calcule as derivadas: \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=4x^3+3y^2\) e \(\dfrac{\partial N}{\partial x}=4\alpha x^3+3y^2+3\beta x^2y\).

Igualando-as, obtemos \(4x^3+3y^2=4\alpha x^3+3y^2+3\beta x^2y\). Cancela-se \(3y^2\) dos dois lados.

Fica \(4x^3=4\alpha x^3+3\beta x^2y\). Comparando coeficientes dos monômios em \(x\) e \(y\), vem \(4\alpha=4\) e \(3\beta=0\).

Logo, \(\alpha=1\) e \(\beta=0\), que são os valores que tornam a equação exata.