Sejam \(α, β,C\) números reais e \(m\) um número natural fixado. A função \(y(x)=ae^{mx}+e^{-βx}+Cxe^{-βx}\) é uma solução da equação diferencial de segunda ordem \(my´´+2y´+\dfrac

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela equação característica associada a \(my''+2y'+\frac{1}{m}y=0\): \(mr^2+2r+\frac{1}{m}=0\). Calculando o discriminante obtemos \(\Delta=4-4=0\), portanto há uma raiz dupla \(r=-\frac{1}{m}\).

Para raiz dupla a solução geral é \(y(x)=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}\), isto é, as soluções formam o espaço gerado por \(e^{-x/m}\) e \(xe^{-x/m}\).

Comparando com \(y(x)=\alpha e^{mx}+e^{-\beta x}+Cxe^{-\beta x}\), os termos \(e^{-\beta x}\) e \(xe^{-\beta x}\) devem coincidir com \(e^{rx}\) e \(xe^{rx}\). Assim \(r=-\beta\), logo \(\beta=\tfrac{1}{m}\).

O termo \(\alpha e^{mx}\) não pertence ao espaço gerado por \(e^{-x/m}\) e \(xe^{-x/m}\); como \(m\) é natural não pode ser igual a \(-\tfrac{1}{m}\), então é necessário \(\alpha=0\).

Conclusão: \(\alpha=0\) e \(\beta=\tfrac{1}{m}\).