Dada a série telescópica \(S = \sum_{k=1}^{\infty} \, 4/[k(k \, + \, 1)],\) ela pode ser reescrita como a diferença de duas séries tipo harmônicas \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{k}

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela decomposição parcial: \( \dfrac{4}{k(k+1)} = 4\!\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\). Assim a série dada pode ser vista como uma soma telescópica.

Considere a soma parcial \(S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{4}{k(k+1)} = 4\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\). Ao expandir, os termos intermediários se cancelam: \(S_n=4\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\).

Tomando o limite quando \(n\to\infty\) obtemos \(\lim_{n\to\infty}S_n=4\left(1-0\right)=4\). Portanto a série telescópica converge e seu valor é 4.