Dentre as transformações de R3: G(x, y, z) = (y - x, z, 2024), S(x, y, z) = (0, 2024 + x, z), F(x, y, z) = (|y|, z, x + y) e R(x, y, z) = (0, -2024z, x + y), a transformação linear

Gabarito

A

Comentário do professor

A transformação \(R(x,y,z)=(0,-2024z,x+y)\) é linear. Para isso verificamos as duas propriedades fundamentais.

Primeiro, a homogeneidade: para todo escalar \(\alpha\), \(R(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(0,-2024\alpha z,\alpha x+\alpha y)=\alpha(0,-2024z,x+y)=\alpha R(x,y,z)\).

Segundo, a aditividade: para \(u=(x_1,y_1,z_1)\) e \(v=(x_2,y_2,z_2)\), \(R(u+v)=(0,-2024(z_1+z_2),x_1+y_1+x_2+y_2)\), que se decompõe em \((0,-2024z_1,x_1+y_1)+(0,-2024z_2,x_2+y_2)=R(u)+R(v)\).

Portanto \(R\) satisfaz homogeneidade e aditividade, logo é transformação linear de \(\mathbb{R}^3\) em \(\mathbb{R}^3\).