Seja \(L = \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{3^{2n}} - \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{n}{n^2+2} - \dfrac{n+1}{(n+1)^2 + 2}\right)\). Qual é o valor de \(L\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Calculemos \(L\) separando as parcelas. A primeira soma é \(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{3^{2n}}=\sum_{n=2}^\infty \left(\dfrac{1}{9}\right)^n\). Trate-se de uma série geométrica com razão \(r=\tfrac{1}{9}\) iniciando em \(n=2\), portanto sua soma é \(\dfrac{r^2}{1-r}=\dfrac{(1/9)^2}{1-1/9}=\dfrac{1}{72}\).

A segunda soma é \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\!\left(\dfrac{n}{n^2+2}-\dfrac{n+1}{(n+1)^2+2}\right)\). Note que é uma soma telescópica. O somatório parcial até \(N\) é \(\dfrac{1}{1^2+2}-\dfrac{N+1}{(N+1)^2+2}\).

Como \(\dfrac{N+1}{(N+1)^2+2}\to 0\) quando \(N\to\infty\), a soma infinita vale \(\dfrac{1}{3}\).

Logo \(L=\dfrac{1}{72}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1-24}{72}=-\dfrac{23}{72}\).