Qual é o intervalo formado por todos os valores de p para os quais a série \(\sum^∞_{n=1}\dfrac{e^{1+n^{-3}}}{n^P}\) converge?

Gabarito

A

Comentário do professor

Analise o termo geral: \(a_n=\dfrac{e^{1+n^{-3}}}{n^p}=e^{1+n^{-3}}\,\dfrac{1}{n^p}\).

Observe que \(e^{1+n^{-3}}=e\cdot e^{n^{-3}}\) e que \(e^{n^{-3}}\to1\) quando \(n\to\infty\).

Use o Teste da comparação por limites: calcule \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{1/n^p}=\lim_{n\to\infty}e^{1+n^{-3}}=e\), um número finito e não nulo.

Como a série \(\sum 1/n^p\) é a p-série que convergente exatamente para \(p>1\), a série dada tem o mesmo comportamento de convergência.

Portanto, a soma \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{e^{1+n^{-3}}}{n^p}\) converge se, e somente se, \(p\in(1,+\infty)\).