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Questão FC462856

Uma empresa utiliza dois insumos em seu processo produtivo: trabalho (L) e capital (K). Considere que a função de produção da empresa é dada por Q=L0,5K0,5, que é uma função de pro

Microeconomia

FGV · 2024

Uma empresa utiliza dois insumos em seu processo produtivo: trabalho (L) e capital (K). Considere que a função de produção da empresa é dada por Q=L0,5K0,5, que é uma função de produção de Cobb-Douglas. Suponha que a empresa deseje produzir uma quantidade fixa de Q = 100 unidades de produto.

Além disso, o preço do trabalho (w) é R$10 por unidade e o preço do capital (r) é R$20 por unidade, e sabe-se que a empresa deseja minimizar seus custos.

[Caso necessário, use a informação 0,50,5 ≈ 0,707.]

 

A combinação de insumos L e K que deve ser escolhida para minimizar os custos, e o respectivo custo total mínimo são

  1. L = 50 e K = 100, com um custo total de R$ 2.500.
  2. L = 100 e K = 50, com um custo total de R$ 1.500.
  3. L = 200 e K = 100, com um custo total de R$ 4.000.
  4. L ≈ 70,7 e K ≈ 70,7, com um custo total de R$ 2.121,30.
  5. L ≈ 141,4 e K ≈ 70,7, com um custo total de R$ 2.828,40.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Minimização dos custos exige igualar as produtividades marginais por preço: \(PMg_L/w=PMg_K/r\). Para a função Cobb‑Douglas \(Q=L^{0,5}K^{0,5}\) temos \(PMg_L=0,5L^{-0,5}K^{0,5}\) e \(PMg_K=0,5L^{0,5}K^{-0,5}\).

Substituindo \(w=10\) e \(r=20\) e simplificando obtém‑se \(L^{-0,5}K^{0,5}/10=L^{0,5}K^{-0,5}/20\), o que implica \(L=2K\).

Com \(Q=100\): \(\sqrt{LK}=100\Rightarrow LK=10000\). Usando \(L=2K\) segue \(2K^2=10000\), então \(K=\sqrt{5000}\approx70{,}71\) e \(L\approx141{,}42\).

Custo total: \(CT=10L+20K=10(141{,}42)+20(70{,}71)=2828{,}427\approx R$ 2.828,40\).

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