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Questão FC463807

Considere uma amostra x1, ..., xn e denote s\(\overset{2}{x}\) a variância dessa amostra. Considere a amostra modificada y1, ..., yn = (x1+c, …, xn+c), sendo c uma constante difere

Econometria

FGV · 2023

Considere uma amostra x1, ..., xn e denote s\(\overset{2}{x}\) a variância dessa amostra.

 

Considere a amostra modificada y1, ..., yn = (x1+c, …, xn+c), sendo c uma constante diferente de zero e denote s\(\overset{2}{y}\) a variância dessa amostra modificada.

 

Considere outra amostra modificada z1, ..., zn = (kx1, …, kxn), sendo k uma constante diferente de zero e denote s\(\overset{2}{z}\) a variância dessa segunda amostra modificada.

 

Assim, \(s_y\) e \(s_z\) valem, respectivamente,

  1. \(s_x\)+ c e k\(s_x\).
  2. \(s_x\)+|c| e k\(s_x\).
  3. \(s_x\)+ c e |k|\(s_x\).
  4. \(s_x\) e k2\(s_x\).
  5. \(s_x\) e |k|\(s_x\).
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Resposta: \(s_y = s_x\) e \(s_z = |k|s_x\).

Ao somar uma mesma constante a todos os dados, a dispersão relativa permanece. Em termos formais, \(\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(X+c)\), portanto a variância amostral não muda e segue \(s_y^2=s_x^2\). Como o desvio padrão é não negativo, \(s_y=\sqrt{s_y^2}=\sqrt{s_x^2}=s_x\).

Ao multiplicar todos os valores por \(k\), a variância é multiplicada por \(k^2\): \(\mathrm{Var}(kX)=k^2\mathrm{Var}(X)\). Assim \(s_z^2=k^2s_x^2\) e o desvio padrão fica \(s_z=\sqrt{k^2s_x^2}=\sqrt{k^2}\,s_x=|k|s_x\).

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