Qual o valor do produto \((1-\frac{1}{2})·(1-\frac{1}{3})·(1-\frac{1}{4})·····(1-\frac{1}{2023})·(1-\frac{1}{2024})?\)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Escreva cada fator na forma de fração: \(1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}\). Assim o produto vira \( \prod_{k=2}^{2024}\frac{k-1}{k}\).

Ao expandir temos \( \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2023}{2024}\). Observe o efeito de cancelamento: cada numerador (exceto o primeiro) cancela com o denominador anterior.

Em termos de produtos, o numerador é \(1\cdot2\cdot3\cdots2023\) e o denominador é \(2\cdot3\cdots2023\cdot2024\). Após cancelamentos resta apenas \( \frac{1}{2024}\).

Portanto o valor pedido é \( \frac{1}{2024}\).