Questão FC545706
O Texto seguinte servirá de base para responder a questão abaixo: Considere dois números inteiros positivos a e b. Dizemos que a é divisivel por b quando a divisão de a por b resul
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FAFIPA · 2025
O Texto seguinte servirá de base para responder a questão abaixo:
Considere dois números inteiros positivos a e b.
Dizemos que a é divisivel por b quando a divisão de a por b resulta em um quociente inteir, ou seja, quando o resto dessa divisão é igual a zero.
Em termos matemáticos, escrevemos isso como a \(÷\) b = q, onde q é um número e o resto é zero.
Por exemplo:
- O número 15 é divisível por 5 porque 15 \(÷\) 5 = 3 e o resto é zero.
- Da mesma forma, 15 também é divisivel por 3, já que 15 \(÷\) 3 = 5 e novamente o resto é zero.
No entanto, se tentamos dividir 15 unidades igualmente entre 2 pessoas, cada pessoa receberá 7, e sobrará uma unidade. Isso acontece porque a divisão tem resto 1, o que significa que 15 não é divisível por 2.
Assim concluímos que :
- 15 é divisível por 5 e por 3, mas não é divisível por 2.
Considere as seguintes afirmações sobre divisibilidade:
- Se um número é divisível por 4, então ele também é divisível por 2.
- Um número n é divisível por 12 se, e somente se, n é divisível por 4 e por 3.
- Se n é divisível por 6, então n é divisível por 3.
Com base nessas infomações, analise as proposições e assinale a alternativa CORRETA.
- Um número divisível por 3 e 4 é necessariamente divisível por 6.
- Se n não é divisível por 3, então n ainda pode ser divisível por 12.
- Todo número divisível por 4 também é divisível por 12.
- Se n é divisível por 6, então n é divisível por 12.
- Se n é divisível por 6, mas não por 4, então n é divisível por 12.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Seja n um número inteiro positivo tal que é divisível por 3 e por 4. Então existem inteiros \(k\) e \(m\) com \(n=3k\) e \(n=4m\).
Como \(\gcd(3,4)=1\), a divisibilidade simultânea por 3 e por 4 implica divisibilidade pelo produto \(3\cdot 4=12\). Uma forma direta: de \(n=3k=4m\) segue que \(3k\) é múltiplo de 4; como 3 é invertível módulo 4, \(k\) é múltiplo de 4, isto é \(k=4q\) e portanto \(n=3(4q)=12q\) para algum inteiro \(q\).
Dessa forma \(n=12q\) e então \(\dfrac{n}{6}=2q\), que é inteiro. Portanto, n é divisível por 6, logo a afirmação é verdadeira.
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