Qual o valor de \({\large{1 \over 3}} \times {\large{2 \over 4}} \times {\large{3 \over 5}} \times ... \times {\large{2021 \over 2023}} \times {\large{2022 \over 2024}}?\)

Gabarito

A

Comentário do professor

Seja \(x\) a expressão dada:
\(x=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{4}\times\dfrac{3}{5}\times\cdots\times\dfrac{2021}{2023}\times\dfrac{2022}{2024}\).

O produto do numerador é \(1\cdot2\cdot\ldots\cdot2022=2022!\).
O produto do denominador é \(3\cdot4\cdot\ldots\cdot2024\), que equivale a \(\dfrac{2024!}{2!}=\dfrac{2024!}{2}\).

Portanto o produto é
\(x=\dfrac{2022!}{2024!/2}=\dfrac{2\cdot2022!}{2024!}\).

Como \(2024!=2024\cdot2023\cdot2022!\), simplifica-se para
\(x=\dfrac{2}{2024\cdot2023}=\dfrac{1}{1012\cdot2023}=\dfrac{1}{2047276}\).