Qual das opções abaixo representa um número irracional?

Gabarito

D

Comentário do professor

Irracional significa que um número não pode ser escrito como razão de inteiros, isto é, não existe \(p,q\in\mathbb{Z}\) com \(q\neq0\) tal que o número seja \(p/q\). Equivalentemente, sua representação decimal é infinita e não periódica.

A constatação de que \(\pi\) é irracional teve demonstração rigorosa por Lambert no século XVIII. Ele provou que, para \(x\neq0\) racional, a função \(\tan x\) é irracional.

Aplicando essa ideia: se \(\pi\) fosse racional, então \(\pi/4\) seria racional. Mas \(\tan(\pi/4)=1\) é racional, o que contradiz o resultado de Lambert. Assim, \(\pi\) não pode ser racional.

Como consequência prática, não existe fração exata para \(\pi\) e sua expansão decimal (3,14159...) segue sem padrão repetitivo. Posteriormente Lindemann mostrou que \(\pi\) é mesmo transcendental, propriedade mais forte que implica irracionalidade.