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Questão FC545907

Um arquiteto projetou uma escada que leva do térreo (base da escada) ao primeiro pavimento de um prédio (topo da escada). Ele percebeu que, para ir da base ao topo, se pudesse subi

Progressão Aritmética

FGV · 2025

Um arquiteto projetou uma escada que leva do térreo (base da escada) ao primeiro pavimento de um prédio (topo da escada). 

 

Ele percebeu que, para ir da base ao topo, se pudesse subir a escada a um ritmo de 

 

• 3 degraus por passo, precisaria dar \(n\) passos; 

• 4 degraus por passo, precisaria dar \(p\) passos; 

• 6 degraus por passo, precisaria dar \(q\) passos; 

• 12 degraus por passo, precisaria dar \(r\) passos. 

 

Se os valores de \(n\), \(p\), \(q\) e \(r\), nessa ordem, são os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética em que o décimo termo vale –20, a quantidade total de degraus dessa escada é um número entre

  1. 40 e 44.
  2. 45 e 49.
  3. 50 e 54.
  4. 55 e 59.
  5. 60 e 64.
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Gabarito

B

Comentário do professor

O número total de degraus deve ser um múltiplo comum de 3, 4, 6 e 12, logo \(N\) é múltiplo de 12. Seja \(N=12k\).

Os passos serão \(n=\dfrac{N}{3}=4k\), \(p=\dfrac{N}{4}=3k\), \(q=\dfrac{N}{6}=2k\) e \(r=\dfrac{N}{12}=k\). Assim os quatro termos formam a PA \(4k,3k,2k,k\) de razão \(-k\).

O décimo termo dessa PA é \(a_{10}=4k+9(-k)=-5k\). Como \(a_{10}=-20\), temos \(-5k=-20\) e portanto \(k=4\), implicando \(N=12\cdot4=48\).

Portanto a escada tem \(48\) degraus, que está entre 45 e 49, confirmando a alternativa correta.

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