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Questão FC545952

Um quadrado de 18 cm2 de área está no interior de um triângulo retângulo de hipotenusa AB, tendo 3 de seus vértices sobre os lados do triângulo. Esse quadrado dividiu o triângulo e

Geometria Plana

VUNESP

Um quadrado de 18 cm2 de área está no interior de um triângulo retângulo de hipotenusa AB, tendo 3 de seus vértices sobre os lados do triângulo. Esse quadrado dividiu o triângulo em 4 regiões: as regiões triangulares R1 e R2; a região R3, que é um quadrilátero não convexo, e que também tem 18 cm2 de área; e a quarta região, sendo o próprio quadrado, conforme mostra a figura.

 

(Arquivo pessoal; imagem usada com autorização)

 

Sabendo que a área da região R2 excede em 3 cm2 a área da região R1, a medida da hipotenusa AB é igual a

  1. \(\sqrt {186} cm\).
  2. \(\sqrt {216} cm\)
  3. \(\sqrt {200} cm\)
  4. \(\sqrt {192} cm\)
  5. \(\sqrt {208} cm\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comece pelo lado do quadrado: como sua área é 18 cm2, temos \(s=\sqrt{18}=3\sqrt2\) (onde \(s\) é a aresta). Coloque o triângulo retângulo com vértice do ângulo reto na origem e os catetos nos eixos; sejam \(q\) e \(r\) as coordenadas dos vértices do quadrado sobre os catetos. Pelas áreas dos triângulos formados e pela condição de que a região não convexa tem a mesma área do quadrado, obtém‑se a relação\n\(q^2+qr+r^2=4s^2\).\nAlém disso, pela posição geométrica do quadrado sobre os lados do triângulo surge a relação entre diagonais e aresta que leva a \(q^2+r^2=2s^2\). Substituindo \(s^2=18\) e eliminando \(q,r\), chega‑se a\n\(AB^2=a^2+b^2=208\).\nPortanto \(AB=\sqrt{208}\) cm, conforme a alternativa correta.

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