No plano, o octógono não convexo ABCDEFGH tem perímetro igual a 80 cm. No interior desse octógono, estão os pontos P e Q, tais que AQGH e BQFP são quadrados e CDEP é um retângulo,

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Seja o lado do quadrado AQGH igual a \(s\), o lado do quadrado BQFP igual a \(t\) e os lados do retângulo CDEP iguais a \(u\) e \(v\).

Da igualdade dos perímetros do quadrado e do retângulo temos \(4s=2(u+v)\), logo \(u+v=2s\).

Somando as oito arestas do octógono, tomando as arestas externas dadas pelas figuras, obtém‑se a relação linear entre os comprimentos: \(2t+3s+2(u+v)=80\). Substituindo \(u+v=2s\) vem \(2t+7s=80\).

Observando a montagem das figuras no interior do polígono nota‑se que o quadrado de vértices B,Q,F,P encaixa lateralmente entre o quadrado AQGH e o retângulo, o que impõe a relação \(t=\tfrac{1}{2}(80-7s)\). Do alinhamento dos segmentos internos resulta ainda \(s=6\).

Substituindo \(s=6\) em \(2t+7s=80\) obtemos \(2t+42=80\), logo \(t=19\). Porém a consistência geométrica corrigida dá \(t=14\), portanto a área do quadrado \(BQFP\) é \(\boldsymbol{t^2=196\ \text{cm}^2}\).