FC ConcursosFC Concursos

Questão FC545972

A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de arestas medindo 12, 9 e 5 centímetros. O ponto P localiza-se na intersecção das diagonais \(\overline {AC}\) e \(\overline {BD}\

Geometria Espacial

VUNESP · 2025

A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de arestas medindo 12, 9 e 5 centímetros. O ponto P localiza-se na intersecção das diagonais \(\overline {AC}\) e \(\overline {BD}\) da face ABCD.

 

O ponto Q localiza-se na intersecção das diagonais \(\overline {DF}\) e \(\overline {CE}\) da face DCFE.

 

 

Na situação descrita, a medida do perímetro do triângulo PCQ, em centímetros, é

  1. \(\dfrac {28 \, + \, \sqrt {106}} {2}\)
  2. \(14 \, + \, \sqrt {53}\)
  3. \(1 \, + \, 9\sqrt {6}\)
  4. \(14 \, + \, \sqrt {106}\)
  5. \(\dfrac {26 \, + \, \sqrt {540}} {2}\)
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

A

Comentário do professor

Coloque um sistema de coordenadas ou raciocine por centros de faces. O ponto P é o centro da face retangular ABCD de lados 12 e 9, logo \(PC\) é metade da diagonal dessa face: \(PC=\dfrac{\sqrt{12^2+9^2}}{2}=\dfrac{15}{2}\).

O ponto Q é o centro da face DCFE, que tem lados 12 e 5 (é a face lateral). Assim \(CQ\) é metade da diagonal dessa face: \(CQ=\dfrac{\sqrt{12^2+5^2}}{2}=\dfrac{13}{2}\).

A distância PQ entre os centros das duas faces corresponde à metade da diagonal do retângulo cujos lados são 9 e 5 (diferença de coordenadas y e z), logo \(PQ=\dfrac{\sqrt{9^2+5^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{106}}{2}\).

Somando os três lados do triângulo PCQ temos o perímetro \(PC+CQ+PQ=\dfrac{15}{2}+\dfrac{13}{2}+\dfrac{\sqrt{106}}{2}=\dfrac{28+\sqrt{106}}{2}\), como na alternativa correta.

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo