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Questão FC545996

Em um museu, chegaram grupos de turistas das cidades A, B e C, cada grupo com o mesmo número de pessoas. Cada grupo foi dividido em subgrupos, cada subgrupo recebendo um guia para

Sem classificação

VUNESP

Em um museu, chegaram grupos de turistas das cidades  A, B e C, cada grupo com o mesmo número de pessoas. Cada grupo foi dividido em subgrupos, cada subgrupo recebendo um guia para orientação. Com os turistas da cidade A, um subgrupo ficou com 12 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 8 pessoas cada. Com os turistas da cidade B, dois subgrupos ficaram, cada um, com 6 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 18 pessoas cada. Com os turistas da cidade C, três subgrupos ficaram, cada um, com 4 pessoas, e os demais subgrupos ficaram com 24 pessoas cada.

 

Sabendo que cada um dos grupos iniciais dessas cidades tinha mais de 300 e menos de 400 pessoas, o número de guias alocados para os subgrupos formados com esses turistas foi

  1. 78.
  2. 85.
  3. 89.
  4. 86.
  5. 74.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Condição inicial. Seja N o número comum de turistas por cidade. Das divisões temos: com A, \(N=12+8k\) então \(N\equiv4\pmod8\). Com B, \(N=12+18m\) então \(N\equiv12\pmod{18}\). Com C, \(N=12+24n\) então \(N\equiv12\pmod{24}\).

Sistema de congruências. A condição \(N\equiv12\pmod{24}\) já implica \(N\equiv4\pmod8\), logo basta combinar \(N\equiv12\pmod{24}\) e \(N\equiv12\pmod{18}\). Isso equivale a \(N\equiv12\pmod{\mathrm{mmc}(24,18)}\), com \(\mathrm{mmc}=72\). Assim \(N=12+72t\).

Valor entre 300 e 400. Para \(t=5\) obtemos \(N=12+72\cdot5=372\), único no intervalo pedido.

Cálculo dos guias. Para A: \(1+(372-12)/8=1+360/8=46\). Para B: \(2+(372-12)/18=2+360/18=22\). Para C: \(3+(372-12)/24=3+360/24=18\).

Total de guias = 46+22+18 = 86.

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