Considere a igualdade a seguir: \(F = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{98} + \sqrt{108} + \sqrt{242}}\) Se \(\sqrt{6} = m\), tem-se que F é igual a:

Gabarito

B

Comentário do professor

Passo 1: Observe \(F=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt{98}+\sqrt{108}+\sqrt{242}}\). Simplificando radicais temos \(\sqrt{98}=7\sqrt2\), \(\sqrt{108}=6\sqrt3\), \(\sqrt{242}=11\sqrt2\), então o denominador é \(18\sqrt2+6\sqrt3=6(3\sqrt2+\sqrt3)\).

Passo 2: Assim \(F=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{3\sqrt2+\sqrt3}\). Multiplicamos numerador e denominador por \((\sqrt2-\sqrt3)\):

\(\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{3\sqrt2+\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6-4}{3-2\sqrt6}\).

Passo 3: Racionalizando o denominador com \(3+2\sqrt6\) obtemos \(\dfrac{(\sqrt6-4)(3+2\sqrt6)}{(3-2\sqrt6)(3+2\sqrt6)}=\dfrac{-5\sqrt6}{-15}=\dfrac{\sqrt6}{3}.\)

Logo \(F=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}=\dfrac{\sqrt6}{18}\). Como \(\sqrt6=m\), segue \(F=\dfrac{m}{18}\).