A razão entre dois números inteiros e positivos é igual a 8 vezes o menor deles mais 2. Sabe-se que a soma dos dois números é 81. Qual é o produto desses dois números?

Gabarito

A

Comentário do professor

Sejam x e y dois inteiros positivos, com y sendo o menor. A frase "a razão entre os dois números é igual a 8 vezes o menor mais 2" vira a equação \( \dfrac{x}{y}=8y+2\), portanto \(x=8y^2+2y\).

Como \(x+y=81\), substituindo \(x\) obtemos \(8y^2+2y+y=81\), isto é \(8y^2+3y-81=0\).

Calcule o discriminante: \( \Delta=3^2-4\cdot8\cdot(-81)=9+2592=2601=51^2\). Assim \(y=\dfrac{-3\pm51}{16}\), e o único valor inteiro e positivo é \(y=3\).

Logo \(x=8\cdot3^2+2\cdot3=78\). O produto é \(78\times3=234\).