Sejam x e y números positivos de modo que xy = yx e x4 = y3. Então, o valor de x é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Substituição: da igualdade \(x^4=y^3\) segue \(y=x^{4/3}\), pois \(x,y>0\).

Aplicando logaritmo à igualdade \(x^y=y^x\) obtém-se \(y\ln x=x\ln y\). Substituindo \(y\) temos \(x^{4/3}\ln x=x\ln(x^{4/3})=x\cdot\frac{4}{3}\ln x\).

Cancelamento: \( \ln x\neq0\), pois \(x=1\) levaria a \(y=1\) e contraria \(x

Conclusão: elevando ao cubo resulta \(x=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27}\), que é o valor buscado.