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Questão FC553123

Suponha que o proprietário de uma fazenda tenha desmatado em sua propriedade uma área de mata nativa bem maior que a permitida por lei e depois de notificado e multado pelas autori

Progressão Geométrica

IBAM · 2023

Suponha que o proprietário de uma fazenda tenha desmatado em sua propriedade uma área de mata nativa bem maior que a permitida por lei e depois de notificado e multado pelas autoridades, foi também obrigado a fazer uma compensação ambiental em sua propriedade e replantar um número de árvores, no mínimo, igual às que derrubou e que isso fosse feito em um período máximo de 10 anos.

 

Ao cumprir a pena imposta por lei, o proprietário da fazenda programou-se para que a cada ano, a partir do segundo, plantar sempre o dobro de árvores plantadas no ano anterior, de tal forma que seguindo esse padrão, somente no sétimo ano de cumprimento da pena plantou exatamente 896 novas árvores.

 

Com base nessas informações, é correto afirmar que nesses sete anos de cumprimento da pena, o proprietário já havia replantado um número de árvores igual a:

  1. 1.756
  2. 1.778
  3. 1.796
  4. 1.812
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Gabarito

B

Comentário do professor

A sequência anual forma uma progressão geométrica com razão \(q=2\), pois cada ano planta o dobro do ano anterior.

Sabendo que no 7º ano \(a_7=896\), aplicamos o termo geral \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\): \(896=a_1\cdot 2^6\).

Como \(2^6=64\), obtemos \(a_1=\dfrac{896}{64}=14\). Assim o primeiro ano teve 14 árvores plantadas.

Para o total nos 7 anos usamos a soma dos n primeiros termos de uma PG: \(S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\). Substituindo: \(S_7=\dfrac{14(2^7-1)}{2-1}\).

Como \(2^7=128\), fica \(S_7=14(128-1)=14\cdot 127=1\,778\). Portanto, já foram replantadas 1.778 árvores.

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