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Questão FC553124

Os números que conhecemos podem ser representados por sua escrita tradicional ou através de letras e operados a partir de sentenças matemáticas, ou ainda agrupados de diferentes fo

Progressão Geométrica

IBAM · 2023

Os números que conhecemos podem ser representados por sua escrita tradicional ou através de letras e operados a partir de sentenças matemáticas, ou ainda agrupados de diferentes formas, sendo alguns desses agrupamentos denominados de sequências numéricas que seguem algum padrão de agrupamento. Uma dessas sequências numéricas contendo quatro números cuja formação caracteriza uma progressão geométrica, é formada por números inteiros e positivos e seus termos estão assim estruturados:

\(\left( {\large{(x-10) \over a_1}};{\large{(x-4 \over a_2}};{\large{(2x+8) \over a_3}};{\large{(10x+8 \over a_4)}}\right)\)

Identificados esses quatro números, ao efetuarmos a soma entre eles obtemos como resultado:

  1. 120
  2. 148
  3. 166
  4. 170
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Gabarito

D

Comentário do professor

Os termos são \(a_1=x-10,\;a_2=x-4,\;a_3=2x+8,\;a_4=10x+8\). Como se trata de uma progressão geométrica, vale a propriedade da média geométrica: \( (a_2)^2=a_1\cdot a_3\).

Substituindo: \((x-4)^2=(x-10)(2x+8)\). Desenvolvendo: \(x^2-8x+16=2x^2-12x-80\). Agrupando termos obtém-se a equação \(x^2-4x-96=0\).

Calculando a raiz: \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-96)=400\), então \(x=\dfrac{4\pm20}{2}\), levando a \(x=12\) ou \(x=-8\). Como os termos são positivos, escolhemos x=12.

Assim os termos são: \(a_1=2,\;a_2=8,\;a_3=32,\;a_4=128\). A soma é \(2+8+32+128=170\).

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