Com base nessas informações, qual é o resultado da soma dos cinco termos dessa PG?

Gabarito

A

Comentário do professor

Comece representando os três primeiros termos como \(a_1=\dfrac{a_2}{q}\), \(a_2\) e \(a_3=a_2q\). Pelo **produto** dado, \(\dfrac{a_2}{q}\cdot a_2\cdot a_2q=a_2^3=27\), logo \(a_2=3\). Assim os termos são \(\dfrac{3}{q},\;3,\;3q\).

Pela **soma** \(\dfrac{3}{q}+3+3q=-\dfrac{39}{4}\). Dividindo por 3 obtém-se \(\dfrac{1}{q}+1+q=-\dfrac{13}{4}\), que ao multiplicar por \(4q\) vira \(4q^2+17q+4=0\).

Resolvendo a quadrática o discriminante é \(225\), com raízes \(q=-\tfrac{1}{4}\) e \(q=-4\). Como a **razão é inteira**, \(q=-4\).

O primeiro termo é \(a_1=\dfrac{3}{q}=-\dfrac{3}{4}\). A soma dos cinco termos pela fórmula \(S_5=\dfrac{a_1(q^5-1)}{q-1}\) com \(q=-4\) e \(q^5=-1024\) dá

\(S_5=\dfrac{-\tfrac{3}{4}(-1024-1)}{-5}=\dfrac{-\tfrac{3}{4}(-1025)}{-5}=-\dfrac{615}{4}\).

Resultado: \(-\dfrac{615}{4}\).