Qual deve ser o valor da variável "b" na função y = 3x² + bx - 8, sabendo que b > 0 e que {y \(ε\) R / y \(≥\) -49/3}?

Gabarito

A

Comentário do professor

Como a função é uma parábola com coeficiente de \(x^2\) positivo (\(a=3\)), seu conjunto imagem tem um **mínimo** que ocorre no **vértice**. A abscissa do vértice é \(x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{b}{6}\).

O valor mínimo é \(y_v = f(x_v)=3\left(-\dfrac{b}{6}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{6}\right)-8 = -\dfrac{b^2}{12}-8\). Como a imagem é \(y\ge -\dfrac{49}{3}\), esse mínimo deve ser \( -\dfrac{49}{3}\).

Igualando \( -\dfrac{b^2}{12}-8 = -\dfrac{49}{3}\) e multiplicando por 12 obtemos \(-b^2-96=-196\), logo \(b^2=100\). Como \(b>0\), concluímos que b=10.