A soma das raízes da equação \(3 \cdot \tan (x) - \tan\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 \text{ para } x \in [-2\pi, 0]\) é igual a:

Gabarito

B

Comentário do professor

Partindo da equação \(3\tan x=\tan\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\), use a fórmula de adição: \(\tan(x+\pi/6)=\dfrac{\tan x+1/\sqrt3}{1-\tan x/\sqrt3}\).

Definindo \(t=\tan x\) obtém-se a quadrática \(3t^2-2\sqrt3\,t+1=0\) cuja discriminante é zero, logo \(t=1/\sqrt3\). Isso dá a solução geral \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Agora imponha \(x\in[-2\pi,0]\). Os valores inteiros que cabem são \(k=-2\) e \(k=-1\), fornecendo as raízes \(x=-\tfrac{11\pi}{6}\) e \(x=-\tfrac{5\pi}{6}\).

Soma: \(-\tfrac{11\pi}{6}-\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{16\pi}{6}=-\tfrac{8\pi}{3}\), que é o resultado buscado.