Sabendo que \(\sin θ={\large{5 \over 13}}\) com \(θ\) agudo, podemos afirmar que \(\cos (2 θ)\) é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Partindo de \( \sin θ=\tfrac{5}{13} \) com \(θ\) agudo, formamos um triângulo retângulo onde o cateto oposto vale 5 e a hipotenusa 13. Assim o cateto adjacente é \( \sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\).

Logo, cos θ é positivo e vale \( \cos θ=\tfrac{12}{13}\).

Usando a identidade \( \cos(2θ)=\cos^2θ-\sin^2θ\), substituímos os valores: \( \cos^2θ=\tfrac{144}{169}\) e \( \sin^2θ=\tfrac{25}{169}\).

Fazendo a diferença obtemos \( \cos(2θ)=\tfrac{144-25}{169}=\tfrac{119}{169}\), que é a alternativa correta.