Sendo \(i = \sqrt{-1}\), a expressão \((\sqrt{2} + i) ^4 + (\sqrt{2} - i)^4\) é igual a um número inteiro n. A soma dos algarismos do valor absoluto do número n é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Considere \(a=\sqrt{2}\) e \(b=i\). Como \(a+b\) e \(a-b\) são conjugados, ao somar as potências de ordem 4 os termos de potência ímpar em \(b\) se cancelam. Isso simplifica o cálculo por identidade binomial.

Usando a expansão, \((a+b)^4+(a-b)^4=2\big(a^4+6a^2b^2+b^4\big)\). Substituindo \(a^2=2\) e \(b^2=i^2=-1\) obtemos \(2\big(4+6\cdot2\cdot(-1)+1\big)=2(4-12+1)=2(-7)=-14\).

Logo \(n=-14\), seu valor absoluto é 14 e a soma dos algarismos de \(|n|\) é \(1+4= \)

5.