Considere o triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. A medida da bissetriz, do maior ângulo agudo desse triângulo, em cm, é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Num triângulo retângulo com catetos 6 e 8, a hipotenusa é \( \sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).

O maior ângulo agudo é o oposto ao cateto 8; chamando-o de \(\alpha\), temos \(\cos\alpha=\dfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}\).

Usando a fórmula de ângulo metade, \(\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+3/5}{2}}=\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\).

A medida da bissetriz do ângulo \(\alpha\), com lados adjacentes de comprimentos 6 e 10, é dada por \(l=\dfrac{2\cdot6\cdot10\cdot\cos(\alpha/2)}{6+10}\). Substituindo,

\(l=\dfrac{120\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}{16}=\dfrac{240}{16\sqrt{5}}=\dfrac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.\)