Um polígono regular com n lados possui seus vértices nomeados sequencialmente por ABCDEF... Sabendo que as bissetrizes internas a esse polígono que partem dos vértices D e F se int

Gabarito

D

Comentário do professor

Por ser um polígono regular, todos os ângulos internos medem o mesmo valor, seja \(x\). As **bissetrizes** internas em D e F dividem esses ângulos em \(x/2\) cada. No quadrilátero formado pelos pontos O, D, E, F temos os ângulos \(x/2\) (em D), \(x\) (em E), \(x/2\) (em F) e o ângulo em O igual a \(40^\circ\).

Aplicando a **soma dos ângulos internos** do quadrilátero: \(\dfrac{x}{2}+x+\dfrac{x}{2}+40^\circ=360^\circ\). Isso simplifica para \(2x+40^\circ=360^\circ\), logo \(x=160^\circ\).

Usando a **fórmula do ângulo interno** de um polígono regular, \(x=\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\), substituímos \(x=160^\circ\) e obtemos \(n=18\) lados.

Por fim, o **número de diagonais** é \(d=\dfrac{n(n-3)}{2}=\dfrac{18\cdot15}{2}=135\).