O menor número inteiro positivo n que torna n! divisível por 10.000 é

Gabarito

A

Comentário do professor

Queremos o menor \(n\) tal que \(n!\) seja divisível por 10.000. Escrevendo em fatores primos: \(10.000=10^4=(2\cdot5)^4=2^4\cdot5^4\). Portanto é preciso que \(n!\) contenha ao menos quatro fatores 2 e quatro fatores 5.

O número de vezes que um primo \(p\) aparece em \(n!\) é \( \sum_{k\ge1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\). Para 5 exigimos essa soma ≥4.

Para \(n=20\): \(\left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4\) e \(\left\lfloor\frac{20}{25}\right\rfloor=0\), total 4 fatores de 5. Para qualquer \(n<20\) a soma é ≤3, insuficiente.

Quanto aos 2s, em \(20!\) há muitas mais de quatro: \(\left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=10+5+2+1=18\).

Assim, o menor inteiro positivo \(n\) com \(n!\) divisível por 10.000 é 20.