Quantos são os inteiros positivos n com três dígitos tais que \(\large{n \over 3}\) e 3n são inteiros positivos com três dígitos?

Gabarito

A

Comentário do professor

Queremos inteiros \(n\) com três dígitos tais que \(n/3\) e \(3n\) também tenham três dígitos. Da condição \(n/3\) ter três dígitos vem \( \dfrac n3 \ge 100\), logo \(n\ge 300\).

Da condição \(3n\) ter três dígitos vem \(3n\le 999\), logo \(n\le 333\). Como \(n\) é inteiro e as duas frações são inteiras, \(n\) deve ser múltiplo de 3.

Portanto \(n\) varia entre 300 e 333 inclusive, tomando valores em progressão aritmética com razão \(r=3\).

O número de termos é \(N=\dfrac{333-300}{3}+1=\dfrac{33}{3}+1=11+1=12\). Assim, existem 12 valores de \(n\).