Questão FC571510
Um número natural é primo quando possui exatamente dois divisores positivos. Dois números naturais ímpares são consecutivos quando a diferença entre o maior e o menor é igual a doi
Conjuntos
CEV UECE · 2011
Um número natural é primo quando possui exatamente dois divisores positivos. Dois números naturais ímpares são consecutivos quando a diferença entre o maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z são os três números primos positivos ímpares consecutivos então a soma \({\large{1 \over x}}+{\large{1 \over y}}+{\large{1 \over z}}\) é igual a
- \(\large{71 \over 105}\).
- \(\large{23 \over 35}\).
- \(\large{75 \over 105}\).
- \(\large{73 \over 105}\).
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Gabarito
A
Comentário do professor
Um número primo além de \(2\) é necessariamente ímpar. Para dois ímpares serem consecutivos a diferença entre eles é \(2\). Assim, três primos ímpares consecutivos positivos só podem ser 3, 5 e 7.
Queremos calcular \( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\).
O mínimo múltiplo comum dos denominadores \(3,5,7\) é \(105\) (produto, por serem primos). Transformando as frações: \( \dfrac{1}{3}=\dfrac{35}{105}\), \( \dfrac{1}{5}=\dfrac{21}{105}\), \( \dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{105}\).
Somando os numeradores: \(35+21+15=71\). Portanto a soma é \( \dfrac{71}{105}\), que é o resultado final.
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