O produto de todos os múltiplos positivos de 6 menores do que 500 é múltiplo de \(10^k\). O maior valor inteiro de k é

Gabarito

D

Comentário do professor

Para que o produto seja múltiplo de \(10^k\) é preciso ter pelo menos \(k\) fatores 2 e \(k\) fatores 5. Como todo múltiplo de 6 já fornece fatores 2, o limite vem do número de fatores 5.

Os múltiplos de 6 que contêm o fator 5 são exatamente os múltiplos de 30. Devemos somar as multiplicidades de 5: \( \lfloor 499/30\rfloor\) conta os fatores 5 simples, \( \lfloor 499/150\rfloor\) adiciona os fatores 5 extras de números com \(5^2\), e assim por diante.

Calculando: \( \lfloor 499/30\rfloor=16\), \( \lfloor 499/150\rfloor=3\), \( \lfloor 499/750\rfloor=0\). Logo o total de fatores 5 é \(16+3=19\).

Portanto o maior inteiro \(k\) tal que o produto seja múltiplo de \(10^k\) é k = 19.