Seja x o menor número natural de cinco dígitos, da forma 75n3m, que é divisível por seis. Se os algarismos m e n são não nulos então o resto da divisão de x por oito é

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que \(75n3m\) seja divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Como \(m\) e \(n\) são não nulos, o último dígito deve ser o menor possível entre os pares não nulos, ou seja, m=2, tornando o número menor.

Para divisibilidade por 3, a soma dos algarismos deve ser múltipla de 3. Temos \(7+5+n+3+2=17+n\). O menor \(n\) não nulo que torna \(17+n\) múltiplo de 3 é \(n=1\), pois \(17+1=18\).

Assim o menor número é \(75132\). Para obter o resto na divisão por 8 basta olhar os últimos três dígitos: \(132\).

Como \(132=8\cdot16+4\), o resto da divisão de \(75132\) por 8 é 4.