Se \(a=2^{\alpha}.3^2.5\), \(b=2^3.3^{\beta}.5\) e \(mdc(a,b)=30\), então \(\alpha + \beta\) é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Usamos a propriedade do mdc: ele é produto dos primos com o expoente igual ao mínimo entre os expoentes em cada número. Assim, \(mdc(a,b)=2^{\min(\alpha,3)}\cdot 3^{\min(2,\beta)}\cdot 5^{\min(1,1)}\).

Como dado \(mdc(a,b)=30=2^1\cdot 3^1\cdot 5^1\), obtemos as igualdades \(\min(\alpha,3)=1\) e \(\min(2,\beta)=1\).

Da primeira, como 3>1, necessariamente \(\alpha=1\).

Da segunda, como 2>1, necessariamente \(\beta=1\).

Logo \(\alpha+\beta=1+1=2\), que confirma a alternativa correta.